Kopernikov heliocentrizmus a zrod Keplerových zákonov pohybu telies okolo Slnka

Časť tretia – Koperníkov heliocentrizmus a zrod Keplerových zákonov pohybu nebeských telies 

Motto k článku:  „ Aké obrovské musia byť tie Dráhy , aká bezvýznamná je voči nim táto Zem, tá scéna, na ktorej uskutočňujeme všetky naše veľké Plány, všetky naše Plavby, všetky naše Vojny“     (Ch.Huigens)

 Ako je všeobecne známe – Kopernikovo dielo „De Revolutionibus Orbium Coelestium  libri“ ( o pohybe nebeských telies) , ktoré znamenalo zrod nového modelu vesmíru – heliocentrického –bolo publikované v roku 1543. „Lampa vesmíru“ – ako Kopernik nazýval Slnko – zaujala svoje oprávnené miesto v centre vesmíru.  Avšak spor o tom – či je správny heliocentrický , alebo geocentrický systém – trval  ešte veľmi dlho. Je známe tiež  aj  to, že ku Kopernikovmu učeniu sa začiatkom 17. Storočia prihlásil aj G. Galilei a približne v tom istom čase skoncipoval svoju teóriu o pohybe planét okolo Slnka- Johannes Kepler.(1571-1630)

Genéza zrodu jeho zákonov bola zhruba takáto:

Johannes Kepler bol veľmi blízkym spolupracovníkom dánskeho astronóma – Tycha Braheho – považovaného za najväčšieho pozorovateľa oblohy všetkých čias – až do objavu ďalekohľadu. Tycho Brahe  - ako je tiež známe – odmietal Kopernikov systém aj preto – že svojimi presnými pozorovaniami nemohol zistiť nijaký náznak zdanlivého paralaktického pohybu hviezd na oblohe, ktorý by sa mal pri pohybe Zeme okolo Slnka jasne prejaviť. Z jeho rozsiahlych pozorovaní vyplývalo, že ak by sa Zem skutočne pohybovala – potom zdanlivo nehybné hviezdy by museli byť od Zeme až 1000-násobne vzdialenejšie ako Slnko. Takéto veľké vzdialenosti – Tycho Brahe – verný aristotelovskej fyzike – kategoricky odmietal.

Avšak – presné záznamy skvelých pozorovaní , ktoré T.Brahe po sebe zanechal sa stali pre J. Keplera vzácnym východiskovým materiálom  nielen pre zrod jeho zákonov pohybu telies Slnečnej sústavy – ale aj ako nesporný dôkaz správnosti Kopernikovej heliocentrickej sústavy.

Kepler veľmi dobre vedel o existujúcich diferenciách medzi pozorovanými polohami planét – a ich polohami – vypočítanými podľa Koperníkovej teórie.  (v prípade Marsu dosahovali až 1 stupeň i viac ). No a tu nastáva zásadný zlom. J. Kepler sa rozhodol zistiť príčiny týchto rozdielov – a to – na základe pozorovaní práve Tycha Braheho –ktoré obsahovali najviac informácií práve o pohybe planéty Mars. Metóda, ktorú Kepler po rade viacerých neúspešných pokusov použil – bola v podstate jednoduchá. Z bohatého pozorovacieho materiálu Tycha Braheho – vybral všetky dvojice pozorovaní Marsu, ktoré sa časovo líšili o 687 dní – čo je práve obežná doba Marsu okolo Slnka. Tak dostal pozorovania Marsu na určitom mieste jeho dráhy , vždy z dvoch rôznych bodov zemskej dráhy. Preložením priamok cez príslušnú polohu Zeme podľa pozorovaných smerov polohy Marsu – dostal priesečník priamok , ktorý zodpovedal skutočnej polohe Marsu v priestore. Na základe takto určených polôh veľkého počtu – dospel Kepler k celkom neočakávanému poznatku- že planéta Mars sa vlastne nepohybuje po kruhovej dráhe , ani po epicykloch – ale po celkom jednoduchej elipse. Keď potom spracoval pozorovania ešte ďalších planét –objavil základný zákon ich pohybu.

Sú to tieto zákony pohybu planét Slnečnej sústavy:

            1.Keplerov zákon –opisuje tvar dráhy planéty a znie takto: „ Planéty sa pohybujú okolo Slnka po eliptických dráhach, v spoločnom ohnisku ktorých je Slnko“ Zo všeobecného prípadu pohybu dvoch telies vyplývajú dráhy po ľubovoľnej kužeľosečke.

             2.Keplerov zákon –sa vzťahuje na pohyb planéty po dráhe  a znie takto: „ Sprievodič, t.j. spojnica –planéta – Slnko, opíše za rovnaký čas rovnako veľké plochy“ To znamená , že planéta sa pohybuje rýchlejšie v perihéliu , než v aféliu. ( v perihéliu je planéta v bode najbližšie k Slnku , afélium je bod v ktorom je teleso na svojej dráhe okolo Slnka – najďalej od Slnka). Ako príklad možno uviesť, že – Zem sa pohybuje v perihéliu na začiatku januára rýchlosťou 30,3 km/s –naopak – začiatkom júna sa Zem pohybuje v aféliu rýchlosťou 29,3 km/s a z toho vyplýva aj fakt – že leto trvá asi o 8 dní dlhšie , ako zima.

             3:Keplerov zákon – opisuje vzťah medzi obežnou dobou planéty a veľkou polosou jej  dráhy a znie takto: „ Štvorce obežných dôb dvoch planét , sú v rovnakom pomere ako tretie mocniny veľkých polosí ich dráh“ Jeho matematické vyjadrenie má tento tvar: , kde T je obežná doba planéty a r – stredná vzdialenosť planéty od Slnka.

3.Keplerov zákon  v pôvodnom znení nezohľadňuje hmotnosti planét. Potom – pri zohľadnení hmotností planét vzhľadom na hmotnosť Slnka má zákon tento tvar:

Kde M je hmotnosť Slnka , m_{2 ,} resp. m₁ – sú hmotnosti planét.

Pre jednu planétu potom platí tento vzťah:

  Kde – k = gravitačná konštanta.  3. Keplerov zákon sa dá použiť na určenie hodnoty gravitačnej konštanty v slnečnej sústave , alebo – na výpočet hmotnosti.

Keplerove zákony však platia pre planéty aj iné sústavy dvoch telies , ktoré sa pohybujú po eliptických dráhach vzhľadom na seba, napr. pri dvojhviezdach. Tento zákon je teda dôležitý napr. pri určovaní hmotnosti dvojhviezd. No keď sa berú do úvahy aj príťažlivé sily ďalších telies – zákon stráca platnosť.

Objavené zákony pohybu planét ( 1. a 2. Zákon) – uverejnil  v roku 1609 Kepler v diele „Astronomia nova“. A neskôr objavil ešte jeden zákon ( 3.), ktorý uverejnil v roku 1619 v diele „Harmonices mundi“. Objavom zákonov pohybu planét sa potvrdila zásadná správnosť Kopernikovej heliocentrickej sústavy a sôčasne sa aj podstatne zjednodušila celá teória pohybu planét. Rozdiel medzi kruhovou a eliptickou dráhou dosahuje maximálne 8 minút v polohe planéty. Prejaviť sa mohol iba vo veľmi presných pozorovaniach , aké získal Tycho Brahe.  „ Práve týchto 8 oblúkových minút zapríčinilo úplný obrat v astronómii „ – konštatoval Kepler. Nové astronomické poznatky opísal Kepler v prvej modernej učebnici astronómie – „Epitome   stronomiae Copernicanae libri I-VII. (1618-1622). Kniha sa však ihneď dostala na index zakázaných kníh. Kepler však urobil veľmi cenné práce i v teórii optiky – napr. pri výpočte optických plôch jeho ďalekohľadu. V roku 1627 – ďalej vyšli jeho astronomické tabuľky – „Tabulae Rudophinae“ –ktoré sa stali na veľmi dlhý čas – základom pre výpočty dráh planét.

V tejto časti príspevku – je nanajvýš aktuálne – vrátiť sa  k článku autora Zomnikovala „ Pohyb telies v Slnečnej sústave“ – publikovanom v periodiku „ Kozmos“ č. 4.  Aj tu sa autor zaoberá problémom sústavy dvoch telies , kde píše aj toto:

                  „ Keplerove zákony dobre popisujú pohyb planét a rovnako nimi možno popisovať pohyb umelých družíc Zeme , alebo aj pohyb dvojhviezd. Neskôr Newton spresnil tretí Keplerov zákon o vplyv hmotnosti telies. Tento vplyv u telies Slnečnej sústavy nie je veľký ,pretože hmotnosť Slnka je oveľa väčšia , ako hmotnosť jednotlivých planét a tak člen je veľmi blízky hodnote 1 a pre väčšinu výpočtov – je ho možno zanedbať. Celý problém veľmi dobre platí v sústave dvoch telies a to v takej (sústave) –kde vzdialenosť telies je významne väčšia , ako je ich rozmer (veľkosť). Sústavu potom možno považovať za pohyb hmotného bodu. Pohyb jednotlivých planét a iných objektov okolo Slnka , možno riešiť jednotlivo, ako problém dvoch telies. vplyv ostatných planét však nie je zanedbateľný a vyvoláva malé odchýlky  , ktoré nazývame poruchy Poruchy sú veľmi závislé od vzdialenosti rušivého telesa , lebo klesajú s treťou mocninou tejto vzdialenosti.

V prípade pohybu Zeme – najväčšie odchýlky od pohybu – popísaného Keplerovými zákonmi – spôsobuje Venuša, potom Jupiter a v menšej miere i ostatné planéty. Systém porúch v pohybe planét je rozpracovaný ako rozvoj porúch jednotlivých elementov dráhy – v závislosti v závislosti od rozdielu ekliptikálnych  dĺžok rušeného a rušiaceho objektu. Takto dokážeme dobre popísať polohy planét vo veľmi veľkom časovom rozsahu. „ V tejto časti úvah o probléme dvoch , či viacerých telies – dôrazom na problém n telies , je určite vhodné bližšie sa pozrieť na problematiku „poruch“.

Moja obľúbená kniha „Encyklopédia astronómie“ – uvádza k problematike porúch tieto fakty:

       „Poruchy“ (perturbácie) sú malé zmeny v dráhe nebeského telesa, pohybujúceho sa okolo centrálneho telesa, vyvolané príťažlivými silami ďalšieho telesa, alebo telies. Sú osobitným prípadom – prípadom troch telies , keď hmotnosť tretieho telesa m₃ je vzhľadom na hmotnosti telies m₁ a m₂ veľmi malá , alebo vzdialenosť medzi nimi je veľmi veľká , takže pôsobenie tretieho telesa na prvé dve, je oveľa menšie než príťažlivé sily medzi telesami m₁ a m₂... rozoznávajú sa „periodické poruchy“ , ktoré sa v pravidelných časových intervaloch vyrovnávajú a pri ktorých odchýlky kolíšu okolo strednej hodnoty, periodicky sa opakujú. „sekulárne poruchy“ pri ktorých ide stále o jednosmerné zvyšovanie , alebo pokles hodnôt. Poruchy sa prejavujú v pohybe telies ako rušivé zrýchlenie – vyvolané rušiacou silou. Sú funkciou času a ich veľkosť , závisiaca od hmotnosti telies je nepriamo úmerná tretej mocnine vzdialenosti. ...poruchy sa vyjadrujú dodatkovým členom k pohybovým rovniciam ...

V Slnečnej sústave zapríčiňujú planéty navzájom poruchy svojich dráh, dráh komét a ďalších telies slnečnej sústavy. Vzájomné rušivé pôsobenie planét je malé , lebo ich hmotnosť – vzhľadom na hmotnosť Slnka je skoro zanedbateľná a vzdialenosti medzi nimi sú pomerne veľké. Napríklad – max. porucha planéty Venuša, ktorá vplýva na Zem je 1/330 000, Jupitera – na Zem 1/530 000 , alebo – Jupitera – na Saturn –len 1/360.

Elementy dráhy ktoré určujú tvar, veľkosť a polohu roviny dráhy planét – vykazujú iba periodické zmeny , nevykazujú sekulárne zmeny , čo svedčí o neohraničenej stabilite slnečnej sústavy. Pri polosi dráhy – a- sa vyskytujú periodické poruchy , sekulárna  porucha sa zväčšuje len pomaly, že by sa prejavila až po čase zodpovedajúcom „životnosti“ Slnka. Excentrucita a sklon dráhy , vykazujú iba dlhoperiodické poruchy.Pri niektorých planétach sa zväčšujú , pri iných – zmenšujú...priamka apsíd sa stáča skoro pri všetkých planétach pravotočivo (pri Zemi asi 11,5“ za rok), uzlová priamka má spätný pohyb.

Pri dráhach komét a ďalších menších telies slnečnej sústavy , ktoré pretínajú dráhy planét – sa viac prejavujú poruchy, zapríčinené príťažlivými silami oveľa hmotnejších telies -planét , takže môžu nastať značné zmeny aj tvaru, veľkosti a sklonu ich dráhy. Pri pohybe Mesiaca okolo Zeme sa výrazne prejavujú rušivé účinky veľmi hmotného a relatívne blízkeho Slnka- takže takmer všetky nepravidelnosti v pohybe Mesiaca – zapríčiňuje Slnko. Napriek malým hodnotám porúch, sa pri výpočte efemerít  musia brať do úvahy.  A to hlavne preto – ak nám ide o určenie polohy – na dlhší čas dopredu. Pri výpočtoch porúch – t.j. pri matematickom vyjadrení odchýlok od dráh telies okolo Slnka – určených podľa Keplerových zákonov – sa rozlišujú „ všeobecné“ poruchy pri ktorých sa hľadajú všeobecné vzťahy poruchovej funkcie v závislosti od času...a „špeciálne“ poruchy, pri ktorých sa určujú odchýlky numerickou integráciou do určitého časového okamihu- k ďalšiemu okamihu. (oskulačná epocha).Pre iné časové okamihy sa poruchy, vyvolané ďalšími planétami zisťujú metódou numerickej integrácie, ktorou  sa dajú docieliť s ľubovoľnou presnosťou výsledky pre všetky časy blízke oskulačnej epoche .Pomocou porúch sa dajú vypočítať aj hmotnosti telies , ktoré tieto poruchy zapríčiňujú pôsobením na dráhy blízkych telies. Pri planétach bez mesiacov je to jediný spôsob určenia ich hmotnosti „ konštatuje sa v stati – „poruchy“ - Encyklopédie astronómie.

No vráťme sa späť – k pokračovaniu článku P.Zimnikovala – kde sa ďalej zaoberá pohybom telies v Slnečnej sústave – so zameraním na „ Problém dvoch telies“ Tu autor píše:

                „ Na teleso obiehajúce okolo Slnka, bez významného rušenia iným telesom , pôsobí len dvojica síl. Jednou je gravitačná sila Slnka a druhou je odstredivá sila, vyplývajúca zo zakrivenia jeho dráhy. Tieto sily majú vždy rovnakú veľkosť , ale opačný smer , preto sú v rovnováhe. Podobne je to aj u telies obiehajúcich okolo Zeme. Je všeobecne známe , že na obežnej dráhe okolo Zeme sú predmety v stave beztiaže. Vyvoláva to mylný dojem, že v kozmickom priestore gravitácia Zeme nepôsobí. V skutočnosti je tu gravitačná sila Zeme takmer rovnako veľká , ako na povrchu Zeme , no je dokonale vyvážená odstredivou silou .Zmena tohto stavu , napr. zrýchlenie družice raketovým motorom , spôsobí zmenu jej dráhy tak – aby obe sily boli opäť vyvážené. Podobne sa správajú aj objekty , obiehajúce okolo iných centrálnych telies.

Tvar dráhy v konkrétnej vzdialenosti od centrálneho telesa – napr .Slnka , je daný rýchlosťou v tomto mieste. Túto skutočnosť nazývame „integrál živej sily“ .

Dráhy majú tvar kužeľosečiek.

Z obrázku kužeľosečiek je zrejmé, že dráhy môžu byť:

                   - Kruhová (excentricita  e = 0)

                   -Eliptická (excentricita  e  je väčšia ako  0 , ale menšia ako 1 ) 

                   -Parabolická (excentricita  e = 1 )          

                   -Hyperbolická (excentricita  e je väčšia ako 1 )

Kruhová a parabolická dráha( v pohybe nebeských telies) prakticky neexistujú , lebo aj minimálna zmena hodnoty excentricity   oproti hodnote   0 , alebo  1 – mení dráhu na eliptickú , či hyperbolickú. V mnohých prípadoch je však výhodné , pre prvé výpočty dráhy (napr. novej kométy) považovať za dráhu parabolickú“          

  Konštatuje záverom článku jeho autor

Osobne považujem  - vzhľadom na ciele , stanovené publikáciou týchto článkov z mojej strany – bližšie sa venovať otázke „ problému dvoch telies“ . Na pomoc si opäť beriem svoju obľúbenú Encyklopédiu astronómie z roku 1987. Tu sa na strane 491 – v stati „problém dvoch telies“ píše :    

              „ problém dvoch telies –jedna z úloh nebeskej mechaniky, ktorá spočíva v určení   absolútneho, alebo relatívneho  pohybu (dráhy) dvoch telies pôsobiacich na seba vzájomnou príťažlivosťou , podľa Newtonovko gravitačného zákona. Obyčajne sa všetky ostatné sily zanedbávajú. Predpokladá sa , že telesá sú dokonale tuhé ,sféricky symetrické. V takom prípade , keď vzdialenosti medzi telesami , sú vzhľadom rozmery veľmi veľké – možno telesá pokladať za hmotné body.  Pri určení pohybu dvoch telies okolo seba , považujeme  jedno  teleso  ( to hmotnejšie – hlavné) – za nepohyblivé. Druhé teleso sa potom pohybuje relatívne , vzhľadom na hlavné teleso , ku ktorému je v dôsledku gravitácie priťahované. Keď sú pre určitý čas poloha a rýchlosť jedného telesa vzhľadom na druhé teleso známe – potom sa dá vypočítať dráha, poloha telesa na dráhe a jeho rýchlosť v ľubovoľnom čase v minulosti aj v budúcnosti.

Pohybové rovnice dvoch telies možno odvodiť z Newtonovho gravitačného zákona:

                                                             

                                                                                                              

                                                                                                                        
                                                       

                                                                                             m M 

                                                                              F =   k² --------

                                                                                                r²

                                                  

 

kde F – je sila, m , M sú hmotnosti telies , r  je ich vzájomná vzdialenosť a k= gravitačná konštanta. ( vo fyzike sa obyčajne označuje ako  kapa)

Hľadané rovnice relatívneho pohybu dvoch telies – majú  tvar sústavy troch diferenciálnych  rovníc  druhého rádu :    
      

                                    d²x                         x

                               ----------- =  -k²(M + m) ------

                                    dt²                          r³

                                    d²y                        y

                             ------------ = -k²( M + m)-------

                                   dt²                                  r³  

                                   d²z                       z

                             ------------= -k²(M + m)---------

                                   dt²                                  r³      

Tieto rovnice vyjadrujú vzťahy pre zložky relatívnych síl, resp. zrýchlení, podľa jednotlivých súradnicových osí (ktorých začiatok je v bode M ) Z riešenia danej sústavy diferenciálnych rovníc vyplýva pohyb v jednej rovine (čo je 1. a 2. Integrácia) zákon zachovania hybnosti sústavy ( čo je 3, integrácia) , zákon zachovania energie ,    ( čo je 4. Integrácia) a tvar dráhy je kužeľosečka ( čo je 5. a 6. Integrácia). Riešenie (- integrovanie) týchto diferenciálnych rovníc , vyžaduje 6 integrácií, teda vyžaduje 6 integračných konštánt. Tie tvoria súbor šiestich navzájom nezávislých veličín. Jedna dráha od druhej sa odlišuje práve týmito šiestimi nezávislými veličinami, ktoré sa nazývajú – elementy dráhy.

Charakterizujú tvar a veľkosť dráhy , polohu roviny dráhy v priestore a jej orientáciu a polohu telesa na dráhe.

Z riešenia rovníc dvoch telies vyplynú aj Keplerove zákony, ale vo všeobecnejšej forme , ako ich J. Kepler empiricky odvodil.

Prvý Keplerov zákon – má pri riešení  „problému dvoch telies“ tento tvar:

                                                                         P

                                                          r  = -----------------   
                                                                    1  + e cos v

V tejto rovnici kužeľosečky – r – je sprievodič telesa,  -e – je číselná excentricita ,  p – je parameter  a – v – je pravá anomália. Tento vzťah vyjadruje , že obiehajúce teleso sa pohybuje vzhľadom na hlavné teleso po    kužeľosečke (kružnici , elipse ,parabole , hyperbole) v jednom ohnisku , ktoré je hlavné teleso. Tvar kužeľosečky závisí od hodnoty – e -. Zavedením polárnych súradníc do pohybových rovníc telies  dvoch telies vyplýva – že plošná rýchlosť je konštantná. Potom platí:

                                                                                r² ω = konštanta

kde  Sprievodič telesa , ktorého relatívny pohyb sa sleduje  opíše v rovnakých časových intervaloch –rovnako veľké plochy ( 2. Keplerov zákon).  Z tejto  rovnice  vyplýva zákon zachovania hybnosti  v probléme dvoch telies.  Tretí Keplerov zákon má pri  riešení problému dvoch telies tento tvar:

                                                                        

                                                                               

     

kde P je obežná doba . a = veľká polos dráhy. Z 3. Keplerovho zákona možno potom určiť napríklad hodnotu gravitačnej konštanty v slnečnej sústave , alebo hmotnosť telies. Pre dve planéty – obiehajúce okolo Slnka , pri zanedbaní ich vzájomného pôsobenia a ich hmotnosti – vzhľadom na hmotnosť Slnka , kde platí  - m  M  potom platí:

 

                  

Čo je v podstate – 3. Keplerov zákon v zjednodušenom tvare , ako ho J. Kepler odvodil. Pre rýchlosť – v – telesa potom platí vzťah:

                                                                                                       

                                                                                  2      1

                                                 V² = k² ( M +m )(---- -  -----)

                                                                                  r       a

ktorý sa nazýva integrál energie( z histórie známy ako integrál živej sily - integrál vis viva) Z neho vyplýva zákon zachovania energie sústavy. Z uvedeného vzťahu  vyplýva, že pre určitú vzdialenosť (r) -tvar dráhy závisí výlučne od rýchlosti telesa.

Pre únikovú rýchlosť telesa platí potom vzťah: 

  

kde veličiny– V_p  a   V_k  - značia rýchlosti pre parabolickú , resp. kruhovú dráhu. Poloha telesa na dráhe sa určuje z elementov dráhy a udáva sa polárnymi súradnicami... 

Ak sa dajú zanedbať rušivé sily ostatných telies – „problém dvoch telies“ rieši s veľkou presnosťou pohyby telies slnečnej sústavy...vzhľadom na Slnko, pohyby umelých družíc a medziplanetárnych sond , aj relatívny  pohyb dvojhviezd. Pri malých rušivých silách – dáva „problém dvoch telies“ dostatočne dobré prvé predbežné hodnoty.““

V nasledujúcom článku sa budem venovať zásluhám I. Newtona pri rozvoji nebeskej mechaniky.